Conjecture abc |
Nouveau Big bang en Théorie des Nombres ? |
Un chercheur japonais serait venu à bout de la conjecture abc, jusque-là indémontrable. Une nouvelle voie pour résoudre des problèmes associés.
CONJECTURE : une proposition qui doit être vraie mais qui n'a pas été encore démontrée.
NOMBRE PREMIER : un nombre uniquement divisible par lui-même et par 1.
CONJECTURE ABC : Soit une équation simple (a + b = c) où a, b, c sont trois nombres entiers positifs n'ayant pas de diviseur commun (par exemple 2 + 3 = 5, mais pas 2 + 2 = 4). Soit d le produit des diviseurs premiers de a, b, ou c. D'après la conjecture abc, d ne peut être beaucoup plus grand que c. Plus précisément c/d(1+e) est inférieur à une constante qui dépend de e, ke), e étant proche de Zéro.
On n'avait pas vu telle effervescence dans la communauté des mathématiciens depuis 1994 et la démonstration du théorème de Fermat par le Britannique Andrew Wiles : Selon la revue Nature, après 4 ans de travail, Shinichi Mochizuki, de l'université de Kyoto, serait venu à bout d'un autre monstre supposé invincible de la théorie des nombres, la conjecture abc. Une nouvelle qui peut laisser de marbre la majorité d'entre nous, mais qui constitue une grande victoire théorique pour la communauté des mathématiciens.
Formulée conjointerment en 1985 par le Français Joseph Oesterlé de l'université Pierre-et-Marie-Curie et David Masser de l'université de Bâle en Suisse, la conjecture abc "établit un lien entre une propriété de la multiplication - la décomposition d'un nombre en produit de nombres premiers - et l'addition", explique Martin Andler, du Laboratoire de mathématiques de l'université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines. C'est précisément sur cette décomposition qu'est fondée toute la cryptographie moderne, et donc tous nos systèmes de chiffrement, au premier rang desquels celui des transactions bancaires. Si la conjecture abc intéresse tant les mathématiciens, c'est que sa preuve et les outils développés pour l'établir ouvriraient la voie vers une nouvelle série de démonstrations d'autres problèmes qui lui sont liés. Ainsi, elle devrait faciliter la résolution des équations diophantiennes, du nom de Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle), qui cherchait des solutions uniquement sous forme de nombres entiers. Par exemple, elle permettrait de déterminer tous les triangles rectangles dont les côtés, mesurés en cm, sont des nombres entiers. Puisque si l'on se souvient bien de ses cours de lycée - l'hypoténuse au carré d'un triangle rectangle est la somme des carrés des deux autres côtés. Pour l'heure, le conditionnel reste de rigueur. D'abord parce que la démonstration de la conjecture occupe 500 pages de formules et les 4 articles publiés sur Internet par Shinichi Mochizuki n'en sont qu'un petit aperçu. Pour les examiner dans les moindres détails, la tâche est colossale, et les spécialistes à même de suivre le raisonnement peu nombreux. La vérification sera donc longue. "Au moims plusieurs mois, estime Joseph Oesterlé, car pour les besoins de cette démonstration, Shinichi Mochizuki a développé un nouveau langage mathématique auquel il va falloir s'adapter.
A.Kh. - SCIENCES ET AVENIR N°788 > Octobre > 2012 |