Le Monde de Pi |
Pi : Le Nombre de Décimales Pulvérisé |
TOUT COMPRENDRE N°106 > Juin > 2019 |
Pi : Le Cercle Infini des Décimales |
QUI EST-IL ?
La définition change selon que l'on est géomètre, analyste, informaticien ou littéraire mais, bien sûr, le résultat reste le même !
La manière la plus simple de présenter Π est celle du géomètre. Π est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Autrement dit, il donne la clef qui permet de calculer la longueur d'une corde nécessaire pour entourer un rondin. Un géomètre moins bucolique dirait que Π est aussi le rapport de la surface d'un disque et de son rayon au carré.
Pour un analyste, d'autres nombres, des sommes et des fractions peuvent faire sortir la valeur de Π (ou l'approcher). Par exemple, Π est presque égal à 22/7 (pour deux décimales) ou à 355/113 (pour 6 décimales). Mais ne cherchez pas une fraction parfaite qui permette d'aboutir à Π en divisant deux entiers, il n'y en a pas. Π n'est pas un nombre rationnel. Il n'est pas non plus la solution d'une équation polynomiale telle ax² + b X x + c = 0. Si c'était le cas, il serait possible de résoudre la quadrature du cercle, c'est-à-dire de construire à la règle et au compas un carré de même surface qu'un cercle donné.En revanche, de jolies formules, faisant appel à des suites infinies, existent, comme celle de François Viète au XVIè siècle :
Pour un informaticien, calculer Π est d'abord une succession d'opérations logiques écrites dans des programmes et évaluées par de puissants ordinateurs. Dernier record connu : 1241 milliards de décimales de Π calculées en 2002.
Enfin, pour un littéraire, Π se déduit en comptant le nombre de lettres des mots composant les vers...
OÙ EST-IL NÉ ?
L'intuition d'Archimède : En augmentant le nombre de côtés de polygones à l'intérieur et à l'extérieur d'un cercle, Archimède obtient des suites numériques qui s'approchent de plus en plus de Π. Pour 96 côtés, il donne la valeur 220/71 < Π < 22/7.
Le Grec Archimède semble être le premier, au IIIè siècle av. J.-C., à avoir remarqué que les deux rapports géométriques (circonférence et diamètre ; surface et rayon au carré) ne font qu'un : Π. Il démontre en outre que cette valeur est comprise entre 3,1408 et 3,1429.
Avant lui, quelques estimations en avaient déjà été calculées. Une tablette babylonienne datant de 4000 ans porte ainsi une estimation de Π valant 3 + 1/8 (= 3,125). Dans le papyrus égyptien Rhind remontant à 2000 ans avant notre ère, la définition est différente ; 16/9 au carré (=3,16...). L'utilisation du carré dans cette formule montre que les antiques mathématiciens s'intéressaient là au problème de la surface d'un disque. Quant à la notation même de Π, elle remonte au XVIIIè siècle et a été popularisée par le mathématicien suisse Leonhard Euler.
OÙ LE TROUVE-T-ON ?
Π est partout ! Sans lui, pas de géométrie bien sûr, donc pas d'architecture, de génie civil ou d'ingénierie. Mais il jaillit aussi dans des endroits plus inattendus. Par exemple, la fonction de Riemann qui livre quelques secrets des nombres premiers contient également Π. En physique, en électrostatique, en électrodynamique, Π se glisse dans bon nombre de formules. Même le petit monde discret des atomes vit avec Π. À tel point que les chercheurs ont inventé une lettre pour simplifier leurs équations et faire disparaître Π : ħ qui vaut h/(2Π≥, h étant la constante de Planck indispensable en mécanique quantique.
Π est aussi vivant en mathématique fondamentale. La suite de ses décimales est certes infinie, mais est-elle aléatoire ? Et comment déterminer si une suite est aléatoire ? Π est un terrain de jeu propice pour creuser ces questions. Pour l'instant, aucune régularité n'a été repérée. Ce qui veut dire qu'on trouve tout dans Π, votre date de naissance tout comme six 9 consécutifs... Alors, l'exploration de ce monde étrange continue. Les informaticiens inventent des solutions ingénieuses pour aller plus loin. Simon Plouffe, David Bailey et Peter Borwein, en 1995, ont produit une méthode pour déterminer une énième décimale de Π sans avoir à calculer celles qui précèdent ! Π est aussi un moyen de tester la fiabilité des programmes manipulant des grands nombres puisque ses décimales sont parfaitement connues.
SES PETITES HISTOIRES
Forcément, autant de propriétés fascinent. Tous les ans, le 14 mars (3/14 selon la convention anglaise), des fêtes de Π sont organisées. Les participants confectionnent et mangent des tartes (pie en anglais) ou chantent accompagnés au piano. Des chaînes humaines dont les maillons portent la valeur de la décimale se déploient dans les cours d'école. On invente des jeux... le plus célèbre étant la récitation des décimales de ce nombre.
Simon Plouffe avait inauguré cette catégorie spéciale avec 4096 décimales apprises par cour en 1975. Puis, en 2004, l'autiste Daniel Tammet en a récité 22 514. Dernier record en date : 100.000 décimales scandées par le Japonais Akira Haraguchi en 2008 !
D.L. - SCIENCES ET AVENIR H.S. > Octobre-Novembre > 2009 |