QUI EST-IL ? Ni le néant ni le rien. On peut définir le zéro de plusieurs manières : c'est un nombre réel, le seul à être à la fois positif et négatif. C'est aussi l'élément neutre de l'addition, c'est-à-dire qu'un nombre est inchangé lorsqu'on l'additionne à zéro. Il confère enfin des propriétés particulières à la multiplication : il en est l'élément absorbant, restant inchangé quel que soit le chiffre par lequel il est multiplié. OÙ EST-IL NÉ ? Il faut au préalable distinguer le zéro en tant que chiffre du zéro en tant que nombre. Le premier, indispensable pour l'écriture des autres nombres, ne peut faire l'objet de calculs ou d'arithmétique. Il a été introduit dans de nombreux systèmes de numération, où il était figuré par un espace vide. Toute la Mésopotamie le représentait ainsi, et la Chine aussi. Mais le véritable zéro est celui qui possède des propriétés de nombre. Il peut alors intervenir dans des opérations arithmétique. Celui-là est apparu en Inde au Vè siècle. L'Indien Brahmagupta est le premier à en mentionner les propriétés. Il le désigne du nom de sunya, "vide". Puis les mathématiciens du monde arabe l'adoptent, notamment par l'intermédiaire du Persan Al-Khwârizmî qui diffuse, au IXè siècle, le système de numération indien grâce à son livre le Calcul indien. Le zéro y est appelé sifr, mot à l'origine de "chiffre". Traduit en latin au XIIè siècle, en Espagne, l'ouvrage est toutefois trop savant pour populariser l'usage du zéro. Ce n'est qu'au tout début du XIIIè siècle que paraît le Liber Abaci de Léonard de Pise, connu sous le nom de Fibonacci. Destiné aux commerçants, d'usage beaucoup plus simple, il expose la numération indo-arabe, montrant que l'emploi du zéro - appelé zefiro, qui deviendra "zéro" - et de la numération de position facilitaient grandement les opérations réalisées jusque-là avec les chiffres romains, qui nécessitaient l'utilisation de tables de calcul. Cependant, il faudra encore quelques siècles pour que s'imposent le zéro et le système indo-arabe. OÙ LE TROUVE-T-ON ? Le zéro est à la base de notre numération. Il est impossible d'effectuer des opérations sans ses propriétés. Par ailleurs, il forme avec le 1 la base de l'écriture binaire utilisée en informatique. SES PETITES HISTOIRES L'apparition du zéro n'a pas manqué d'entraîner quelques situations compliquées. C'est par exemple le cas de la division par 0. Une fraction avec 0 au dénominateur est indéterminée : ni égale à 0, ni égale à l'infini, elle est un contre-sens mathématique. Autrement, les opérations les plus simples nous fourniraient des absurdités... Du genre : 1 est égal à 2. Petite démonstration : supposons que a=b. Multiplions les deux membres de l'équation par a. Ce qui nous donne a² = ab. Ajoutons a²-2ab, soit a²+a²-2ab = ab+a²-2ab. D'où, par simplification : 2 (a²-ab)=a²-ab. Soit 2=1. Pourtant, il n'y a pas d'erreur dans ces opérations. Simplement, comme a=b, alors a²-2ab =0, simplifier par (a²-ab) revient à diviser par zéro.
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