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On Ne peut pas Prouver que les Maths sont Sûres

Aussi robuste semble-t-il, le corpus mathématique n'est pas à l'abri des contradictions.

Kurt Godel l'a prouvé en 1931 : en utilisant le langage mathématique pour décrire les raisonnements mathématiques dans une mise en abîme vertigineuse, il a prouvé qu'on ne pourra jamais démontrer que de l'ensemble des théorèmes mathématiques n'émergeront pas des aberrations susceptibles de faire s'écrouler l'édifice. Cette démonstration établit que, dans le cadre de l'arithmétique, il est impossible de démontrer la proposition "l'arithmétique est cohérente". Et il est de surcroît impossible de savoir si cette proposition est vraie même en l'englobant dans une théorie plus large comme celle des ensembles. On peut en effet toujours démontrer formellement cette proposition dans cette théorie plus large, mais alors la proposition "la théorie des ensembles est cohérente" devient elle-même indémontrable. Or, que vaut la preuve de la cohérence de l'arithmétique faite dans une théorie dont on ne sait pas si elle est cohérente ? C'est comme si un menteur affirmait qu'une autre personne dit la vérité : difficile de les croire.


R.I. - SCIENCE & VIE > Août > 2010
 

   
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