A priori, en mathématiques, tout ce qui est vrai peut-être prouvé. L'objectif de la reine des sciences exactes n'est-il pas justement de démontrer rigoureusement toutes les vérités ?

Las, l'ensemble des énoncés vrais est plus vaste que l'ensemble des énoncés démontrables. Et cette proposition, elle, est bel et bien démontrée ! Elle l'est même un depuis 1931, grâce à Kurt Gobel et l'emploi des métamathématiques, un langage mathématique qui commente étape par étape le raisonnement logique lui-même. Le point clé de sa démonstration consiste à construire un énoncé qui soit à la fois vrai et indémontrable. Élaboré sur le même schéma que l'antique paradoxe du menteur, il est le suivant : "cet énoncé n'est pas démontrable". Un raisonnement par l'absurde permet dans un premier temps de se convaincre qu'un tel énoncé n'est pas démontrable. En effet, s'il l'était, ce qu'il énonce serait vrai : il serait donc vrai que "cet énoncé n'est pas démontrable", ce qui contredit l'hypothèse de départ : CQFD. Mais l'incapacité à démontrer cet énoncé suffit aussi à prouver qu'il est vrai, puisque c'est justement cette indémontrabilité qu'il affirme. Intrinsèquement indémontrable et nécessairement vrai, ce seul exemple suffit à établir l'incomplétude des mathématiques : la méthode de démonstration basée sur des raisonnements logiques à partir d'axiomes ne suffit pas à atteindre tout le domaine de la vérité mathématique.